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  • Matemáticas de cuarto año

    Introducción

    Matemáticas de cuarto año

     

    Dado

     

      En una sociedad cada vez más desarrollada, las matemáticas tienen una incidencia relevante en la comprensión, interpretación y desarrollo de nuestro mundo. En los medios de comunicación, las publicaciones especializadas de carácter divulgativo, social o económico, incluso en los anuncios y el lenguaje matemático asociado: gráficas, tablas, porcentajes, entre otros, está presente de forma notoria. Esto se debe fundamentalmente a su lenguaje de carácter funcional, en consonancia con su capacidad de medición netamente práctica.

      La influencia de esta ciencia sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de cualquier disciplina científica es incuestionable. Es por ello que la adquisición de conocimientos matemáticos, no puede reducirse a la obtención de resultados finales, debe estar vinculada a la comprensión y manejo de la teoría que sustenta a esta ciencia, lo cual va a permitir su aplicabilidad en las distintas situaciones a las que los estudiantes de Bachillerato se tendrán que enfrentar en su futuro profesional.

     En este sentido, el propósito de esta aula virtual es transformar las lecciones y actividades del aula, en contenidos multimedia capaces de potenciar la comprensión de esta disciplina, promover la posibilidad de formar grupos de estudio, corregir a sus compañeros y fomentar la colaboración entre ellos, empleando así una herramienta que desarrolla la inteligencia colectiva, el manejo del tiempo, la apropiación y visualización del contenido.

      Así mismo este espacio pretende también que el estudiante asuma parte de la responsabilidad de su educación como miembro activo de su proceso de aprendizaje, aprendiendo a manejar su tiempo, teniendo la posibilidad de asistir una y otra vez a la misma clase hasta que entienda la teoría empleada, se relacione con sus compañeros y construyan entre todos sus propios saberes, asegurándonos que todos los individuos alcancen un alto nivel educativo que los prepare para el futuro.

     ¡Bienvenidos!

  • Topic 1

    Reducción de ángulos al primer cuadrante

    Es la conversión de una función trigonométrica de un ángulo cualesquiera, en otra función trigonomètrica en tèrminos de un ángulo agudo que denominaremos, àngulo de referencia. Esto es posible, dado que los valores del seno y coseno se repiten en el resto de los cuadrantes.

    El procedimiento consiste en transformar un ángulo mayor de 90° y menor de 360º, en un ángulo agudo y positivo cuyas razones trigonométricas son equivalentes en valor absoluto, por esta razòn, hay que tomar en cuenta el signo que posee la funciòn trigonomètrica en el cuadrante correspondiente.

    Dado un ángulo ϴ mayor de 90°, el ángulo agudo positivo, α, formado entre el lado terminal del ángulo ϴ y el eje coordenado x, recibe el nombre de ángulo de referencia (véase figura 1).

    Lado terminal del angulo

    Este ángulo es agudo, positivo y está definido únicamente, si el lado terminal de un ángulo ϴ no coincide con los ejes coordenados. El uso del ángulo de referencia, facilita el cálculo de los valores de las razones trigonométricas de un ángulo en cualquier cuadrante, para reducirlo a un ángulo agudo del primer cuadrante, la figura 2 muestra los ángulos de referencia en los distintos cuadrantes.

     

    angulos de referencia

    Es importante recordar que por convención, los ángulos que siguen una trayectoria contraria a las manecillas del reloj se consideran positivos, mientras que los ángulos que siguen la trayectoria de las manecillas de reloj, se consideran negativos.

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  • Tema 2

     ALGUNAS NOCIONES DE FUNCIONES REALES A VARIABLE REAL

    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

    La trigonometría se originó como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos e inicialmente se empleó para resolver problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y egipcios fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. En Grecia, se destacan los ttrabajos de Hiparco de Nicea y de Claudio Ptolomeo (siglo II a.C.), quienes construyeron las primeras tablas de funciones trigonométricas.

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    Claudio Ptolomeo

    A finales del siglo VIII, los astrónomos árabes emplearon la función seno y a finales del siglo X, se utilizaban las otras cinco funciones trigonométricas. La trigonometría árabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII.

    En la actualidad las funciones trigonométricas se usan en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e intervienen en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón por la cual su aplicación no se limita a las relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados. Por ejemplo, en la naturaleza existen sucesos que tienden a repetirse, como la medición de mareas, movimiento del péndulo y otros fenómenos cíclicos. Para los científicos y la población en general, es importante modelar dichos fenómenos para conocer con cierto grado de aproximación, cuándo y cómo van a ocurrir, y esto se logra por medio de las funciones trigonométricas.

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  • Topic 3

    TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO

    El uso de triángulos de cualquier tipo en la medición de terrenos, ha constituido uno de los temas de gran trascendencia en la historia de la humanidad. Es por ello que el dominio de herramientas matemáticas relacionadas con el cálculo de áreas triángulos de cualquier tipo, juega un papel medular en la planimetría.

    La planimetría tiene que ver con la representación detallada del terreno sobre una superficie plana, sin tomar en cuenta las elevaciones, permitiendo visualizar el terreno desde arriba.

    En regiones planas de forma poligonal, la manera convencional de calcular el área del terreno, es a través del trazado de triángulos. Al triangular una región plana, la mayoría de los triángulos trazados no son rectángulos, este tipo de triángulos se denominan triángulos oblicuángulos. Para resolver triángulos oblicuángulos o rectángulos se usan dos teoremas o leyes: Teorema del seno y Teorema del coseno.

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  • Topic 4

     ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

        Una ecuación trigonométrica es una relación que es cierta para uno ó más valores de un ángulo desconocidos. En ciertas ocasiones, se presentan con una condición adicional o restricción; de esta forma, la solución corresponde a los valores del ángulo que satisfacen tanto a la ecuación como a la condición adicional.

      Existen una cantidad de problemas que conllevan a determinar la solución de ecuaciones trigonométricas. En general, para resolver una ecuación trigonométrica pueden algunos  de estos procedimientos:

    1) Despejando; 2) escribiendo la ecuación en términos de una función trigonométrica; 3) usando algunas identidades trigonométricas; 4) elevando a  un cierto exponente ambos lados de la ecuación trigonométrica; 5) factorizando.

         Al resolver una ecuación trigonométrica, debe indicarse cuál debe ser el conjunto solución de los ángulos a determinar.

      Esta condición recibe el nombre de restricción o condición.Cuando no se coloca ninguna restricción sobre el ángulo, se asume que se requiere determinar todos los posibles valores reales que pueda tomar el ángulo en cuestión. En este caso la ecuación tiene infinitas soluciones.

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  • Topic 5

    FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

    Desde su descubrimiento es imposible dejar pasar por alto, las aportaciones que han hecho los logaritmos. Para el año 1614, John Napier fue el primero en proponer este método de cálculo en su libro “Mirifici Logarithmorum Canoni Descriptio”, aunque el primero en concebir el logaritmo como concepto, fue el matemático y relojero suizo Joost Bürgi.

    Gracias a los logaritmos, se facilita la resolución de cálculos complejos lo que ha contribuido al avance de la ciencia. Sus avances abarcan varias áreas, astronomía, geodesia, navegación marítima y la matemática aplicada. En la economía, los cálculos realizados con los logaritmos ayudan al conocimiento de la oferta y demanda; en las finanzas permite determinar el crecimiento de los depósitos bancarios.

    En el área musical, los pentagramas tienen relación con la escala logarítmica. En la topografía, las funciones logarítmicas permiten conocer la altitud de un edificio. En la biología, contribuye a la realización del cálculo del PH. Y muchas más aplicaciones, la importancia de los logaritmos radica en la simplificación de una multitud de cálculos, hoy día más simplificado con ayuda de los computadores.

    Por su parte, la importancia de las funciones exponenciales radica en que muchos procesos naturales y sociales están regidos por leyes cuya expresión aparece la función exponencial, esto es una variable que crece o disminuye exponencialmente con respecto a otra. Por ejemplo, crecimiento poblacional, desintegración radiactiva, cálculo de interés simple. También aparece involucrada en muchas fórmulas de física, termodinámica, electromagnetismo, teoría de circuitos, etc.

     

     

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  • Topic 6

    VECTORES EN EL PLANO

             En las ciencias de las matemáticas y la física, se distinguen magnitudes vectoriales de escalares. En el primero de los casos, toda magnitud vectorial, se caracteriza por tener longitud, dirección y sentido. Una magnitud vectorial se origina tras el desplazamiento de una partícula de un punto A a un punto B (véase figura 1).

    vector

            En la figura 1, podemos distinguir el punto inicial del vector, A, y el punto final, B. La distancia entre los puntos A y B se denomina longitud. Este valor numérico es siempre positivo. Dicho vector, esta sobre una recta punteada, dicha recta con respecto al eje coordenado x, forma un ángulo positivo, que por convención se toma en sentido contrario a las agujas del reloj. La dirección del vector viene dada por el ángulo α que forma la recta con respecto al eje x. El sentido del vector, viene determinado por la flecha del mismo. En este caso el sentido del desplazamiento es del punto inicial A al punto final B. Ejemplos de magnitudes vectoriales: la fuerza, la aceleración, el desplazamiento, entre otras. Las magnitudes escalares a diferencia de las vectoriales, no tienen dirección, ni sentido, sólo magnitud, por tanto, constan de un valor numérico. Por ejemplo de magnitudes escalares: masa, longitud, tiempo, densidad, peso, etc.

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  • Topic 7

    NÚMEROS COMPLEJOS 

    Los Números Complejos en la Historia

        La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un número negativo, la encontramos en la obra Stereometría de Herón de Alejandría en Grecia alrededor de la mitad del siglo I. La siguiente referencia data del año 275 en la obra de Diophantus, Aritmethica. En su intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 12 y área 7.

           

        En 1545, Jerome Cardan un matemático, físico y filósofo italiano publica el Ars Magna (El Gran Arte) en el cual describe un método para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro.

       Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x+y=10, xy=40 dando origen a soluciones complejas.

    Cardan también tropieza con raíces complejas cuando resuelve una ecuación cúbica.

     

     

         Treinta años después de la publicación de Cardan, el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli, desarrollo un cálculo de operaciones con números complejos que se ajusta a las que conocemos en la actualidad.

    A pesar de lo aportado por Bombelli su trabajo sobre esta materia L’Algebra fue ampliamente ignorado y considerado como misterioso e incierto.

        Por su parte, René Descartes fue quien bautizó con el nombre de imaginarios a los nuevos números, apuntando también en sus trabajos, que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque números no reales podían ser alguna de ellas.

     

        Grandes matemáticos como Leonard Euler y Carl Gauss también se dedicaron al estudio de los números complejos, el primero aportó su desarrollo y popularizó el uso del símbolo “i” que empleamos hoy día. El segundo matemático al que hacemos referencia, demostró a sus 22 años en su tesis doctoral, que cualquier polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces, resultado conocido con el nombre de Teorema Fundamental del Álgebra.

       En 1833, William Rowan Hamilton enuncia la primera definición algebraica rigurosa de los complejos como pares de números reales.

        En 1847, el matemático francés Louis Cauchy da una definición abstracta de los números complejos como clases de congruencias de polinomios reales.

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  • Topic 8

    Progresión GeométricaSUCESIONES Y PROGRESIONES

          Se denomina sucesión a una lista de términos consecutivos que siguen un criterio de formación, que relaciona cada término con el lugar que ocupa.

    Por ejemplo:

    • Sumar una misma cantidad. En la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, 27… cada término se obtiene a partir del anterior sumando 5.
    • Multiplicar por una misma cantidad. En la sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729,… cada término se obtiene multiplicando por 3 el anterior.

    En una sucesión, el término que ocupa una posición cualquiera, n, se llama término general y se denota por an.

    En este tema se estudiarán dos tipos de sucesiones: las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.

    Por ejemplo, las progresiones geométricas están muy presentes en los cálculos bancarios. Cuando se deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo este nos ofrece un porcentaje anual de interés, llamado interés simple. En ese momento existe la posibilidad de reinvertir el capital junto con sus intereses, en este último caso se denomina interés compuesto.

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